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Un imán permanente o "imán", es un objeto que puede ser metálico, cerámico o plástico, generalmente homogéneo, que puede describirse como sigue: (1) Un imán atrae ciertos materiales que, para simplificar, llamaremos "piezas de hierro". Las fuerzas "magnéticas" atractivas se ejercen a distancia (sin contacto), en vacío o a través de materiales como cobre, aluminio, plomo, vidrio, ladrillo, madera y plástico (brevemente, "materiales no magnéticos". (2) Un imán tiene regiones denominadas "polos magnéticos", donde la fuerza de atracción que ejerce sobre piezas de hierro es considerablemente mayor. Hay solo dos tipos de polos magnéticos (denominados polo norte magnético, "N", y polo sur magnético, "S", y que nunca pueden aislarse. Un imán puede ser "multipolar" (más de un N, o más de un S), pero no puede tener solo N (sin S), ni solo S (sin N). Si el imán es una barra con los polos en los extremos (barra "magnetizada" longitudinalmente), al partirla por la mitad para intentar separar el polo N del S, se obtienen dos imanes de menor tamaño, cada uno con sus polos N y S en los extremos. (3) Sobre piezas de hierro cercanas, un imán "induce" polos magnéticos en el mismo sentido que sus propios polos. Estas piezas pueden conservar durante un tiempo algo de la magnetización inducida, como si fuesen imanes (Se los denomina "imanes temporales". La interacción puede ser representada con líneas cerradas de "campo magnético", que salen del polo N y entran al S, de cada cuerpo magnetizado (imanes permanentes y temporales). Estas líneas pueden visualizarse indirectamente esparciendo limaduras de hierro muy finas sobre un papel colocado sobre el imán. Cuando una pieza de hierro está inmersa en un campo magnético exterior, la superposición del campo generado por la magnetización interior da como resultado un campo alrededor de la pieza tal como si el campo exterior estuviese siendo absorbido o "chupado" por el material. La densidad de líneas de campo magnético es mucho mayor cerca y dentro del material magnético. Por eso se dice que estos materiales (como el hierro) son "permeables" al campo magnético. Esta "permeabilidad magnética" puede ser desde 1 hasta unas 100000 relativa al vacío, es decir, la densidad de líneas de campo (número de líneas por unidad de área), puede ser desde unas pocas veces superior, hasta miles de veces superior a la que habría lejos del material permeable. (4) Entre dos imanes cualesquiera, no solo hay fuerzas atractivas, sino también repulsivas. Si se acerca un imán a otro imán, se observa que los polos del mismo tipo (N y N, o S y S), se repelen, mientras que polos diferentes (N y S), se atraen (aunque los imanes sean de diferente material, forma y tamaño). Las fuerzas magnéticas de repulsión y atracción se ejercen a distancia (sin contacto), en vacío o a través de materiales no magnéticos. (5) Si se dejan varios imanes y piezas de hierro próximas o en contacto entre sí y con libertad de moverse, tienden a colocarse en la posición más estable, asociada a un menor campo magnético disperso, y que requeriría un mayor trabajo para separarlos. El camino o forma en la llegan a esa posición, es el que cuesta menos trabajo. Como en otros procesos naturales, los magnéticos también evolucionan con el mínimo trabajo y hacia una configuración de menor energía. En particular, si un imán se deja libre como para girar (por ejemplo suspendido de un hilo, o apoyado sobre un corcho flotando en agua), éste tiende a orientarse con el campo magnético terrestre local. Si no hay estructuras de hierro ni rocas magnéticas próximas, el imán se orienta aproximadamente en la dirección Norte-Sur geográfica. Al extremo que apunta hacia el Polo Norte geográfico, se le denomina polo norte magnético, y al otro, polo sur magnético. Esto es lo que hace la brújula (que es una aguja magnetizada capaz de girar), cuando se orienta siguiendo al campo magnético que le rodea. La Tierra se comporta como si tuviese un imán con los polos aproximadamente a lo largo del eje de rotación, con el polo S magnético hacia el Norte geográfico. Pero además, el sentido de giro para orientarse con el campo terrestre, es el que corresponde al recorrido "más corto", girando el menor ángulo. Finalmente, (6) Un imán puede perder su capacidad de atracción y repulsión magnéticas si se calienta y/o golpea. Cuando no tiene ningún polo magnético, se dice que está desmagnetizado. Un imán desmagnetizado puede volver a magnetizarse si no está muy caliente y si se le aplica un campo magnético intenso (dependiendo de cada material). En general, los imanes para aplicaciones específicas son muy anisótropos (i.e., tienen propiedades distintas en distintas direcciones), ya que no se magnetizan igual ni con la misma facilidad en todas las direcciones. Existen direcciones preferenciales o "fáciles", y direcciones "duras" o "difíciles" para magnetizarlos. Una pieza de hierro se magnetiza (temporalmente) al estar bajo el campo magnético que produce otro imán (próximo o en contacto). Si una pieza de hierro alargada (como una barra, tornillo o perno de hierro) se coloca a lo largo de la dirección Norte-Sur geográfica, un golpe hace que se magnetice (débil pero perceptiblemente) con los polos en el sentido del campo magnético terrestre. Para estudiar la interacción magnética entre objetos, los imanes, piezas de hierro y bobinas suelen representarse con una cantidad vectorial denominada momento magnético, que indica (en forma macroscópica y equivalente) la dirección, sentido e intensidad de su magnetismo. Por otra parte, microscópica y atómicamente, el magnetismo en la materia se estudia con los momentos magnéticos microscópicos presentes en ciertas moléculas, y con los momentos magnéticos instrínsecos ("spin" en partículas atómicas como los electrones orbitales y los protones en el núcleo atómico. Ejemplos En la siguiente foto se observan clavos de hierro magnéticamente adheridos a los polos de un imán de "alnico", y una brújula cuya aguja se encuentra orientada según las líneas de campo magnético que salen del polo N (a la derecha de la barra) y entran al polo S (extremo izquierdo del imán). El "N" de la escala de la brújula, corresponde a la orientación Norte geográfica, que señalaría la punta roja de la aguja, si estuviese lejos de la influencia magnética de la barra imantada. Un problema de ingenio típico es el siguiente: Se tienen dos barras metálicas; una es un imán permanente magnetizado, y la otra es una barra de hierro, pero no se sabe cuál es cuál. ¿Cómo se puede distinguir cuál es el imán y cuál es el hierro, sin usar nada más que las mismas dos barras?. A continuación, en la foto se ve una barra magnetizada de alnico en posición horizontal, y un cilindro de hierro colocado debajo, perpendicularmente y próximo al centro del imán, donde no hay polos magnéticos. Esta configuración en " T " es la solución: en efecto, revela cuál es cuál ya que la falta de atracción demuestra que el de abajo no tiene ningún polo en el extremo y por lo tanto, ése debe ser el hierro. Si la barra de abajo fuese el imán, el polo del extremo superior se "pegaría" inmediatamente al centro del hierro. La foto siguiente muestra tres imanes: un imán herradura de "ferrita", cuyos polos se han adherido magnéticamente a los polos opuestos de dos pequeñas láminas de "neodimio-hierro-boro" magnetizadas longitudinalmente. Los 3 imanes se encuentran con los polos "en serie", minimizando las líneas de campo dispersas entre los polos de la herradura. En la siguiente se muestran otros 6 imanes laminares magnetizados longitudinalmente, que se encuentran magnéticamente adheridos de a pares. Dos de estos 3 pares están en posiciones inestables. El de abajo a la izquierda, que posee menor superficie (porque una lámina está encima de la otra), es la configuración más estable, la que exigiría más trabajo desarmar. A continuación se muestran los elementos de un juego didáctico comercial, que consta de 4 piezas (plateadas) de hierro: 1 cilindro y 3 clips, y 6 imanes de ferrita (piezas grises): 1 barra y 2 herraduras magnetizadas longitudinalmente (con "N" y "S" grabados de fábrica), y 1 placa y 2 anillos magnetizados transversalmente (con los polos escritos a mano). Todas las piezas de hierro están adheridas a los imanes, por lo tanto tienen polos inducidos comportándose como imanes temporales. Un clip se encuentra adherido al polo N de la herradura de la derecha, muy próximo al polo opuesto de la herradura izquierda, al que debería ser atraído intensamente. Pero esto no sucede debido a que hay menos líneas de campo dispersas entre los polos de la herradura izquierda, por tener el cilindro de hierro cerrando el "circuito magnético". Es decir, el imán herradura de la izquierda ha perdido gran parte de su capacidad de atraer piezas de hierro, debido a que sus polos se han "cortocircuitado" con una barra de hierro. Por último, se muestra un juego formado por 10 esferas macizas de hierro (de unos 13 mm de diámetro) y 20 cilindros de plástico de diferentes colores. Cada uno de estos cilindros (de unos 25 mm de largo y 7 mm de diámetro) tiene un pequeño "imán de Tierras Raras" en cada extremo (de unos 2 mm de espesor y 5 mm de diámetro). Lamentablemente, un juego que podría ser muy instructivo y didáctico, no trae ni una brújula ni explicación alguna, por lo que un adulto no sabe qué hacer, y un niño suele dedicar la mayor parte del tiempo con este juego a armar "arañas" y animalitos, adhiriendo los cilindros a las esferas. Por ejemplo, después de unos minutos de estudiar con una brújula los polos que tienen estos cilindros en sus extremos, se puede observar que hay 3 tipos distintos de configuraciones: (1) los "bipolares", con un N y un S en los extremos (como si fuese un imán más largo), y dos tipos de cilindros "monopolares", (2) unos con N, y (3) otros con S en cada uno de los dos extremos. A la izquierda se muestran dos cilindros rojos con dos extremos adheridos a una esfera de hierro. Estos extremos se repelían entre sí, por lo tanto, hay dos polos del mismo tipo adheridos a la esfera. Esto induce en el hierro el otro polo, que por razones geométricas debe estar en el ecuador de la esfera, perpendicular al diámetro entre los polos. Por lo tanto, las otras dos esferas se han adherido al centro de la primera. El otro conjunto que se muestra a la derecha con un cilindro azul y otro rojo, también tiene dos polos de dos cilindros adheridos a una esfera. Pero en este caso, los polos se atraían y por lo tanto, los polos adheridos a la esfera tienen que ser de diferente tipo. Ahora la esfera se encuentra magnetizada a lo largo del diámetro entre los cilindros, por lo que en el ecuador no hay ningún polo para atraer a las otras dos esferas como antes. 2-PARA QUÉ SIRVE Los imanes, además de servir para hacer juegos, adornos, para juntar alfileres, hacer trampas y fijar mensajes en las puertas de los refrigeradores, tienen innumerables e importantísimas aplicaciones, que pueden separarse como sigue: (1) Atractores: Utilizan la atracción hierro-imán, o la atracción/repulsión imán-imán y bobina-imán (Abrir y cerrar válvulas y reed-relays. Sujetar piezas y personas. Producir levitación estática. Mover mecanismos. Eliminar/Separar impurezas en alimentos. Guiar sondas médicas. Agitar y mezclar líquidos.) (2) Vibradores: Generan movimiento ondulatorio (sónico o ultrasónico) utilizando alternadamente atracción y repulsión dinámica entre imán-bobina con corriente alterna (Parlantes. Emisores ultrasónicos de ecógrafos y sonares. Aparatos de limpieza por ultrasonido.) (3) Indicadores: Utilizan el cambio de posición del material magnético o de una bobina debido a la tendencia de los momentos magnéticos (de imanes y bobinas con corriente) a orientarse en la dirección del campo externo (La aguja de las brújulas. El imán de los detectores de clavos en la pared. Las bobinas de los galvanómetros e instrumentos analógicos; en éstos, el campo lo provee un imán permanente estático.) (4) Rotores: Generan movimiento de rotación utilizando la tendencia de los momentos magnéticos de las bobinas con corriente, a orientarse en la dirección del campo externo (Motores.) (5) Generadores y contadores: Generan energía o señales mediante la inducción magnética (Generadores de electricidad a partir de combustible o vapor, hidroeléctricos y eólicos. Micrófonos de audio y sensores ultrasónicos de ecógrafos y sonares. Tacómetros para bicicletas y automóviles. Sensores y contadores en líneas de producción.) (6) Registradores: Almacenan analógica o digitalmente información, datos, sonido o imágenes, mediante la posición relativa de los dominios magnéticos en discos o cintas (Discos duros, floppy-disks, cassettes de audio, cintas VHS de video, cassettes de cámaras de video, etc.) (7) Inductores: Utilizan la inducción magnética sobre piezas ferrosas (Magnetizar y desmagnetizar herramientas). (8) Deflectores: Utilizan fuerza magnética para desviar cargas eléctricas en movimiento (Hornos microondas. Espectrómetros.) Por ejemplo, en Medicina y en Odontología muchos equipos e instrumentos tienen imanes permanentes en motores, actuadores, cierres de puertas y deflectores de haces. También hay aplicaciones en sondas con imanes de Tierras Raras de hasta 1 mm de largo x 0.5 mm de diámetro, guiados a través de venas y arterias mediante electroimanes exteriores al paciente. Algunos son usados para verificar la posición de dispositivos intrauterinos. Los imanes permanentes se han utilizado además en la extracción de objetos metálicos magnéticos del estómago y esófago. En particular, en Veterinaria se utilizan imanes de alnico recubiertos con teflon, de unos 8 cm de largo y poco más de 1 cm de diámetro, para que concentren las piezas metálicas de hierro que puedan entrar en los estómagos de las vacas, y así evitar que lleguen a otros órganos. 3-CÓMO FUNCIONA Para que una pieza sea un imán, su material tiene que cumplir varias condiciones. Empezando por el tipo de elemento que lo compone, las distribuciones electrónicas de los átomos o iones tienen que proveer momentos magnéticos atómicos. Además, las moléculas deben tener una estructura tal que potencie la interacción entre esos momentos magnéticos. Por otra parte, la forma en la que estas moléculas se ordenan también es importante. Es decir, con una dada composición química y una estructura cristalina determinada, se puede obtener un material magnetizable, para fabricar un imán temporal. Pero para tener uno permanente, hace falta más: una estructura donde la regularidad o el ordenamiento esté interrumpido por cierto tipo de defectos microestructurales. Microscópicamente Aunque el origen del Magnetismo es un misterio, se sabe a qué está asociado el magnetismo en la materia. Uno de los números cuánticos de los electrones orbitales de todos los átomos, es el estado de rotación intrínseco o "spin" del electrón. Éste puede tener uno de dos estados opuestos posibles, que se denominan "hacia arriba" (up), o "hacia abajo" (down). El comportamiento del hierro y otros metales, se denomina "ferromagnetismo". Éste se asocia al spin de los electrones atómicos no-apareados, es decir, se asocia a átomos con órbitas electrónicas que no tienen igual número de spins up que down. Analizando la estructura electrónica desde el átomo más simple de la Tabla Periódica de Elementos Químicos (hidrógeno), se observa que al pasar de un átomo con número atómico Z al siguiente con Z+1, las capas y subcapas se van completando ordenadamente hasta el Z = 18 (argón). A partir del 19 (potasio), es energéticamente más conveniente comenzar a llenar la capa 4 en vez de continuar completando la subcapa 3d. Una vez completa la 4s (potasio y calcio), comienza a llenarse la 3d (escandio, titanio, vanadio, cromo, manganeso, hierro, cobalto y níquel). La existencia de orbitales interiores incompletos, da la posibilidad de tener electrones no-apareados, que generan los momentos magnéticos atómicos en estos "metales de transición". Pero para que un metal sea ferromagnético además tiene que haber una tendencia al alineamiento (interacción de intercambio) entre los momentos magnéticos atómicos. Esta interacción es muy sensible a la estructura cristalina del material (por eso existen, por ejemplo, aceros magnéticos ferríticos o alfa con estructura cristalina BCC, y aceros austeníticos o gamma con estructura cristalina FCC, que no son magnéticos, a pesar de tener similar composición química). Los materiales para imanes más difundidos son los alnico y las ferritas. Los primeros son metálicos, mientras que las ferritas son cerámicos. En estos, los enlaces atómicos son principalmente iónicos, entre cationes que cedieron electrones, y aniones. El comportamiento magnético de la magnetita (Fe3O4) y otros cerámicos, se denomina "ferrimagnetismo". Éste se relaciona con los momentos magnéticos antiparalelos de los cationes en los tetrahedros y octahedros de la estructura cristalina. (NOTA: la denominación "ferrita" de los imanes cerámicos, no debe confundirse con la "estructura ferrítica" del hierro-carbono alfa, que son metales magnéticos). Granos, dominios magnéticos y técnica de Bitter Las regiones del material donde los átomos o moléculas tienen igual orientación cristalina se denominan granos, y dentro de estos granos, los grupos de átomos con igual orientación de momento magnético se denominan dominios magnéticos. Debido a la tendencia de la Naturaleza a estar en estados de menor energía, si los granos son grandes, en su interior se pueden formar varios dominios alternados, que minimizan el campo remanente. Esto hace que al aplicar un campo externo, cueste menos energía que los dominios se muevan, haciendo que el material se desmagnetice fácilmente. Por lo tanto, para que además de ser ferro o ferrimagnético un material no sea fácil de desmagnetizar, los granos deben ser pequeños (hasta unos 6x10-6m, o menores). En los años 30, el físico estadounidense Francis Bitter (1902-1967), se sentía insatisfecho con la teoría de los dominios magnéticos, ya que eran un concepto central, debían ser relativamente grandes, y sin embargo nadie los había visto. Así fue que se le ocurrió extender a la escala microscópica el método de las limaduras de hierro para estudiar objetos magnetizados. Fabricó cristales ferromagnéticos grandes, con superficies lisas, que no mostraran ninguna estructura con las gruesas limaduras de hierro. Luego preparó polvos mucho más finos que las limaduras, y los colocó sobre los cristales. Los polvos se depositaron en los bordes de los dominios (en sus polos, donde el campo es más intenso), y por primera vez quedó demostrada su existencia. Este procedimiento se conoce como "Técnica de Bitter" o "Decoración magnética". Esto también inspiró el desarrollo de una técnica similar que se utiliza para estudiar fluxones en superconductores tipo II. Defectos microestructurales y anclaje de dominios ("pinning" No siempre es fácil y económico fabricar un material con granos pequeños, y otras veces, no es compatible con algunas propiedades mecánicas o químicas. El polvo para fabricar un imán cerámico con granos pequeños, puede oxidarse más y dar un material más frágil. Una alternativa tecnológica para que un material pueda ser imán permanente, es usar granos no tan pequeños (del orden de 10 micrómetros, 10-5m), pero evitando el movimiento de las paredes de los dominios mediante el anclaje con defectos microestructurales dentro de los granos. Estos defectos puden ser combinaciones de impurezas, intersticiales, vacantes, maclas, poros y fases no magnéticas. Cuando los imanes metálicos se fabrican mediante fusión y moldeo, hay que hacerlo de tal forma que puedan tener y controlarse defectos en su microestructura. En el caso de los cerámicos, que se fabrican mediante la sinterización de polvos, hay defectos como los poros, presentes de forma natural. Por eso algunos imanes metálicos también se fabrican mediante pulvimetalurgia, sinterizando polvos metálicos sin fundir. El anclaje es justamente lo que hace que las piedras magnéticas naturales sean imanes. Están compuestas principalmente por magnetita (Fe3O4). Sin embargo, si uno fabrica magnetita en el laboratorio, lo que se obtiene es un buen imán temporal, pero no un imán permanente. Mirando el material de los imanes naturales con un microscopio y con rayos-X, se encuentra que tienen regiones microscópicas de magnemita (Fe2O3), y otras contienen pequeños porcentajes de Ti, Al y Mg distribuídos no-uniformemente. Estas impurezas proveen el anclaje necesario para darles las características magnéticas que los convierte en imanes permanentes.

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Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente. Contenido Factor común Representación gráfica de la regla de factor común El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c se obtiene aplicando la propiedad distributiva: c (a + b) = c a + c b , Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c (a + b) , (el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreas coloreadas (ca) y (cb). Ejemplo 3x (4x + 6y) = 12x^2 + 18xy , Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio Ilustración gráfica del binomio al cuadrado. Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Es decir: (a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 , un trinomio de la forma: a^2 + 2 a b + b^2 ;, se conoce como trinomio cuadrado perfecto. Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es: (a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2 , En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo. Ejemplo (2x - 3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(-3y) + (-3y)^2 , simplificando: (2x - 3y)^2 = 4x^2 -12xy +9y^2 , Producto de dos binomios con un término común Ilustración gráfica del producto de binomios con un término común Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, se suma el cuadrado del término común con el producto el término común por la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de los términos diferentes. (x+a)(x+b)= x^2+(a+b)x+ab , Ejemplo (3x+4)(3x-7) = (3x)(3x) + (3x)(-7) + (3x)(4) + (4)(-7) , agrupando términos: (3x+4)(3x-7) = 9x^2 -21x + 12x -28 , luego: (3x+4)(3x-7) = 9x^2 -9x -28 , Producto de dos binomios conjugados Véase también: Conjugado (matemática) Producto de binomios conjugados. Dos binomios conjugados son aquellos que sólo se diferencien en el signo de la operación. Para multiplicar binomios conjugados, basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos, obteniendo una diferencia de cuadrados (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 , Ejemplo (3x+5y)(3x-5y) = , (3x)(3x) + (3x)(-5y) + (5y)(3x) + (5y)(-5y) , agrupando términos: (3x+5y)(3x-5y) = 9x^2 - 25y^2 , A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia. Polinomio al cuadrado Elevando un trinomio al cuadrado de forma gráfica Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los productos de cada posible par de términos. (a+b+c)^2 = a^2 +b^2+c^2 + 2(ab+ac+bc) , (a+b+c+d)^2 = a^2 +b^2+c^2 + d^2+ 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) , Ejemplo (3x+2y-5z)^2 = (3x+2y-5z)(3x+2y-5z) , multiplicando los monomios: (3x+2y-5z)^2 = 3x cdot 3x + 3x cdot 2y + 3x cdot (-5z) , + 2y cdot 3x + 2y cdot 2y + 2y cdot (-5z) , + (-5z) cdot 3x + (-5z) cdot 2y + (-5z) cdot (-5z) , agrupando términos: (3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +2(6xy-15xz-10yz) , luego: (3x+2y-5z)^2 = 9x^2+4y^2+25z^2 +12xy-30xz-20yz , Binomio al cubo o cubo de un binomio Descomposición volumétrica del binomio al cubo Para calcular el cubo de un binomio, se suma: el cubo del primer término, con el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 , Identidades de Cauchy: (a+b)^3= a^3+b^3+3ab(a+b) , Ejemplo (x+2y)^3 = x^3 + 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2+(2y)^3 , agrupando términos: (x+2y)^3 = x^3+6x^2y+12xy^2+8y^3 , Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término. (a-b)^3= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 , Identidades de Cauchy: (a-b)^3= a^3-b^3-3ab(a-b) , Ejemplo (x-2y)^3 = x^3 - 3(x)^2(2y) + 3(x)(2y)^2-(2y)^3 , agrupando términos: (x-2y)^3 = x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3 , Identidad de Argand (x^2+x+1)(x^2-x+1) = x^4+x^2+1 , Identidades de Gauss a^3+b^3+c^3-3abc= (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) , a^3+b^3+c^3-3abc= frac{1}{2} (a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2] , Identidades de Legendre (a+b)^2+(a-b)^2=2(a^2+b^2) , (a+b)^2-(a-b)^2=4ab , (a+b)^4-(a-b)^4=8ab(a^2+b^2) , Identidades de Lagrange (a^2+b^2)(x^2+y^2) = (ax+by)^2+(ay-bx)^2 , (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) = (ax+by+cz)^2+(ay-bx)^2+(az-cx)^2+(bz-cy)^2 , Otras identidades Dado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique cuales productos son los únicos que pueden llamarse notables y los demás no. Existen otras fórmulas, que aunque menos usadas que las anteriores, pueden en cierto contexto ser consideradas productos notables. Entre ellas se destacan: adicion de cubos a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) , diferencia de cubos a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) , Es más frecuente listar las dos fórmulas anteriores como fórmulas de factorización ya que los productos tienen una forma particularmente simétrica pero el resultado sí (contrastar por ejemplo con la fórmula de binomio al cubo). (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3 , (a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3 , La suma y diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias n-ésimas: Suma de potencias n-ésimas Sí y sólo si "n" es impar, a^n+b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 -cdots + b^{n-1}) , Diferencia de potencias n-ésimas a^n-b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 +cdots + b^{n-1}) , Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar con el teorema del binomio. Existe una ingeniosa fórmula para representar un cubo como suma de dos cuadrados: a^3 = left(frac{(a+1)a}{2}right)^2 - left(frac{(a-1)a}{2}right)^2

Este sencillo experimento de magnetismo y electricidad se construye con los siguientes elementos: una pila, un imán, 2 conductores de cobre, agua, sal, pimienta y un recipiente cualquiera. Si quiere usted seguir las instrucciones detalladas (en inglés), las puede encontrar en Evil Mad Scientist Laboratories. Puede realizar el experimento en casa o mismamente en el colegio. La interpretación del movimiento la podemos hacer así: el imán crea un campo magnético. La sal disuelta en agua tiene iones, que son partículas con carga eléctrica, lo que hace que este agua sea conductora. La pila con los cables hacen que la corriente eléctrica fluya por el fluido a través de los iones cargados. Es sabido que una carga eléctrica que se mueve dentro de un campo magnético experimenta la acción de una fuerza (si no lo recuerda, ¿por qué no prueba a reeditar un examen de selectividad sobre el tema?), por lo que los iones tenderán a moverse en círculo forzados por el campo magnético. Y finalmente supongo que la pimienta se usa para que se vea el movimiento de las partículas al ser de color (color pimienta, claro). NOTA: podrás encontrar otros sencillos e interesantes experimentos en nuestra sección de ciencia. Para realizar la actividad necesitamos los siguientes materiales: 1 imán Un vaso de cristal delgado o plástico Agua Regla o bolsa de platico 1 clip 1 hoja de papel o cartón, que tenga dibujado un laberinto Desarrollo: -Coloca el clip por encima de la regla o bolsa, debajo de ella coloca el imán y trata de llevarla de extremo a extremo. -Coloca agua en el vaso e introduce el clip, después con el imán intenta sacar el clip. ***Coloca el clip en la entrada del laberinto, y trata de resolverlo para llegar a la salida. -Realiza la actividad con otros materiales diferentes al clip. Podemos deducir cuatro características de la actividad, la atracción generada por el imán hacia el clip, no todos los materiales son atraídos, la fuerza magnéticas en invisible, y es capaz de atravesar algunos materiales. *** Esta actividad divierte mucho a los pequeños y pequeñas, además que promueve el desarrollo de su motricidad fina mediante el juego, es recomendable para cualquier grado respetando los niveles de complejidad para cada edad.

En una caja pequeña, deposita dos o tres caquítas frescas, rocíalas con "aflojatodo" en spray (para que brille) envuélvela como regalo (con su moño y listones atravesados), deja la caja en un lugar público y espera a ver al gandalla que se lleva el regalo a su casa para abrirlo!!! Para los que toman demasiado café... en una cafetera ( de esas que llaman tetera) agrégale detergente en polvo y cuando el café ya este hirviendo... boommmmm!!!!! explosión en toda la cocina. Si quieren hacer que alguien de verdad se enoje solamente consíganse algún pegamento muy fuerte (de preferencia cola loca, insértenlo en espacio donde va la llave para abrir el auto o la cerradura de la casa y así tendrán el resultado y la llave simplemente no entrara.(Esta Broma es muy buena ha sido probada por nosotros y te invitamos a hacerla! pero mucho cuidado te puede llevar la policía) Cuando quieran que un timbre haga corto circuito solamente tomas un palo delgado y tocan el timbre con el y al mismo tiempo echan agua al timbre esto provocara un corto circuito mucho cuidado (chistemaniaco.com) Para ponchar las llantas de un auto solo necesitas hacer este simple objetivo coloca clavos en la parte delantera de la llanta (pero si quieres asegurarte colócalo también en la parte de atrás) y el coche al arrancar hacia adelante o hacia atrás se ponchara. Bomba happosai: para hacer una bomba happosai necesitas algún combustible que encienda rápido como alcohol de preferencia polvora. Después de tener el explosivo busca algo redondo, hueco y duro ponle pólvora Después táchelas, clavos etc... tápala dejando solamente el espacio para alguna mecha o algo que haga prender la pólvora si quieres rayar o destruir algo pon la bomba cerca de ese objeto y... a correr. ¿Comezón? Para hacer esta broma procura fijarte bien en donde la realizaste o si no a ti también te va a afectar. 1.- Consigue polvo pica-pica 2.- Entra a un baño, de preferencia publico para que nadie sepa que tu fuiste ( NO COMETAS EL GRAN ERROR DE QUE SEA EN TU CASA O A TI TAMBIEN TE VA A TOCAR). 3.- Coloca el polvo pica-pica sobre la parte donde se sienta uno en la taza del baño o letrina. 4.- Sal del baño y actúa con naturalidad, deshazte del polvo y hazte el tonto en el lavabo y espera hasta que alguien entre al baño donde pusiste el polvo. 5.- Prepárate para cuando salga del baño y el polvo comience a hacer efecto y listo HECHATE A CORRER O SI NO TE HECHAN LA CULPA. COMO HACER ENOJAR A TUS AMIGOS invita a unos amigos a tu casa (preferentemente mas de dos) diles que van a aventar globos con lodo a una casa y todos preparen los globos, metanlos en una bolsa y tu ofrécete a llevarlos (es muy importante que seas tú el que los lleves) ya cerca de donde van a aventar los globos únete con tu mejor amigos y empiecen a aventarle los globos a los demás trata de darles en una parte que manchada se vea de pelos . Esto resulta siempre y cuando tu mejor amigo no se revele y te aviente globos a ti también. :twisted :