abritucabeza

Problemas matemáticos no resueltos Hay muchísimos problemas matemáticos aún no resueltos. Más aún, cuando un problema se resuelve surgen muchos más; algunos son resueltos de inmediato, mientras otros permanecen sin resolver a veces, durante mucho tiempo. A medida que el volumen de conocimiento matemático aumenta, nuevas posibilidades de retar la "inteligencia colectiva" de la comunidad matemática surgen a velocidades increibles. En este post, no pretendo quemarle la cabeza a nadie con matemática avanzada o demasiado abstracta. Muchos de los problemas matemáticos no resueltos son tan complicados que es necesario estudiar durante años simplemente para entender el enunciado. A diferencia de estos, hay otros que son muy simples de comprender, y son precisamente algunos de esos problemas los que presento a continuación. Es curioso y a veces increíble que un problema tan simple de enunciar no haya sido resuelto. Incluso luego de más de dos mil años de haber sido propuesto. Los problemas Factorización entera La multiplicación es una de las operaciones básicas de toda la matemática. Seguramente sepas multiplicar. Basta saber las tablas y alguno de los procedimientos estandarizados para hacerlo. Dividir es un poco más complicado, pero cualquiera que haya transitado la educación secundaria puede hacerlo. Supongamos ahora que elijo dos números naturales y los multiplico. Me da 15. Ustedes dirán: 3 y 5. Otro más avispado podrá decir 1 y 15. Nada del otro mundo. Bueno, descomponer un número N en sus factores primos es justamente hallar los números primos que dividan a N. Recordemos que los números primos P son aquellos que tienen exactamente dos divisores naturales: 1 y P. Los primeros números primos: En el ejemplo anterior, 1 y 15 no es una factorización de 15, pues ni 1 ni 15 son primos (1 tiene un único divisor y no dos, mientras 15 tiene 4: 1, 3, 5 y 15). En cambio 3 y 5 sí lo son; luego 15=3x5 es una descomposición de 15 en factores primos. Si nos dan cualquier número natural podemos hallar su descomposición en primos: lo dividimos por 2 y si nos da entero hemos hallado que 2 es un divisor primo del número. Si no, probamos por 3, luego por 4 y así por todos hasta llegar a N (de hecho es suficiente con probar sólo factores primos hasta la raíz de N, pero ese es otro tema). Ahora viene lo interesante: si elijo algunos números primos (dos es suficiente) de varias cifras (alrededor de 50, por ejemplo) y los multiplico (algo muy fácil de hacer, sobre todo con una computadora), es posible obtener un número tan difícil de factorizar que una computadora podría tardar años en hacerlo. Incluso, multiplicando dos números primos de algunos cientos de cifras cada uno, es posible obtener números que no se puedan factorizar en milenios con ninguno de los métodos conocidos. Hay maneras matemáticas concretas de establecer qué tan rápido es un algoritmo (un procedimiento o serie de reglas) para resolver un problema, así que el problema de factorización prima tiene un enunciado bien establecido que no nos concierne. Tengamos en cuenta, sin embargo, que cualquier procedimiento tardará más en factorizar números grandes que números pequeños, en general. Por ahora, enunciémoslo de la siguiente manera: Problema: hallar un procedimiento que permita factorizar rápidamente, cualquier número natural. Parece mentira que una operación tan simple como la multiplicación de enteros sea tan difícil de "invertir". Este problema tiene muchas aplicaciones prácticas reales. Por ejemplo, para encriptar información, uno de los algoritmos de clave pública más utilizados (que permite, por ejemplo, a un usuario enviar información encriptada a través de internet y que sólo aquel que posee una clave determinada pueda decifrar) es el algoritmo RSA. Este algoritmo aprovecha justamente la dificultad de factorizar grandes números. La clave que se necesita para descifrar la información encriptada se obtiene exactamente factorizando uno de estos números. La empresa RSA Laboratories ofrece premios económicos bastante tentadores por factorizar números RSA. Por ejemplo, una factorización del número 25195908475657893494027183240048398571429282126204032027777137836043662020... ...70759555626401852588078440691829064124951508218929855914917618450280848912... ...00728449926873928072877767359714183472702618963750149718246911650776133798... ...59095700097330459748808428401797429100642458691817195118746121515172654632... ...28221686998754918242243363725908514186546204357679842338718477444792073993... ...42365848238242811981638150106748104516603773060562016196762561338441436038... ...33904414952634432190114657544454178424020924616515723350778707749817125772... ...46796292638635637328991215483143816789988504044536402352738195137863656439... ...1212010397122822120720357 conocido como RSA-2048, valia hasta hace un tiempo U$S 200.000. ¡U$S 200.000 por encontrar sólo dos numeros! A conseguir lapiz y papel... XD Más números primos Ya vimos en el problema anterior qué son los números primos. Hay muchos problemas sin resolver en torno a este tipo de números. Dos de los más importantes: Primos gemelos Se llaman primos gemelos aquellos primos P y Q que se diferencian en 2 unidades. Por ejemplo, 3 y 5 son primos gemelos, pues 5-3=2. Otro ejemplo es 17 y 19. Decimos que (3,5) y (17, 19) forman pares de primos gemelos. Problema: demostrar que hay una cantidad infinita de primos gemelos. Conjetura de Goldbach Uno de los problemas clásicos más importantes concerniente a los números primos. Tiene varios enunciados, algunos un poco más fuertes, otros más débiles, pero todos son en escencia similares. Tomemos un número par, mayor a 2. Por ejemplo 16. Este número lo podemos expresar como suma de números primos como 16 = 3 + 13 = 5 + 11. Problema: demostrar que todo número par mayor a 2 puede ser expresado como suma de dos números primos. Se ha probado mediante computadora que es cierto para números de hasta 17 cifras. Problema de Collatz Tomemos un número entero y realicemos el siguiente procedimiento: si N es par, lo dividimos por 2. Si es impar, lo multiplicamos por 3 y le sumamos 1. Repitiendo este procedimiento se obtendrá una sucesión de números enteros. Por ejemplo, si comenzamos con 7 obtendremos: 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1... A continuación, un árbol que resume las secuencias de Collatz de los números más pequeños: Prueba con otros números. ¿Terminas siempre en la sucesión 4, 2, 1, 4, 2, 1...? Problema: demostrar que comenzando con cualquier número natural y aplicando el procedimiento definido anteriormente, eventualmente se obtendrá como resultado 1. Al igual que la conjetura de Goldbach, se ha comprobado mediante computadora para números de hasta 17 cifras (y un poco más). Cuadrando el lago Tomemos una curva cerrada simple (en matemática este tipo de curvas tiene una definición precisa; nos bastará considerar que es una circunferencia deformada), como la de la ilustración: Como se puede ver a continuación, se pueden tomar 4 puntos sobre la curva que son los vértices de un cuadrado: Problema: demostrar que toda curva cerrada simple en el plano contiene los vértices de un cuadrado. Dada cualquier curva resulta bastante fácil encontrar esos vértices. Por eso resulta increible que no se haya podido demostrar que esos vértices siempre existen. Bueno, es todo por ahora. Como podrán observar googleando cualquier oración de este post, van a ver que no es copy - paste ni repost. Espero que les haya gustado; da mucho trabajo hacer este tipo de posts. Gracias por pasar y difundan si les gustó. Si tienen preguntas o sugerencias, no duden en mandar MP. Hasta la próxima...