Sachiel03ar

Hola gente de taringa... les comento que hace un tiempo empece un blog de divulgación y curiosidades matemáticas. Les dejo la última nota que subí y los invito a que pasen por el blog. Gracias ! http://entremateymaticas.blogspot.com.ar/ Zenón y la pesadilla de Aquiles Zenón de Elea fue un filósofo griego nacido entre el 490 y el 480 a.C en la ciudad de Elea, dentro de lo que actualmente es Italia. Su maestro y mentor fue Parménides de Elea, un pensador con ideas un tanto alocadas para la época, él decía que la realidad era estática y eterna, es decir que no cambiaba, que lo que "es" siempre sería y no cambiaría nunca mientras que lo que no "es" nunca podría pasar a existir. Esto lo acompañaba aclarando que lo que uno percibía como realidad no era más que una ilusión y no era real, por supuesto esto tenía algunas "desagradables" consecuencias, como ser que, según este señor, el movimiento no existía, no era más que una ilusión. Este pensamiento chocaba con aquel de los pitagóricos, que a su vez consideraban que el movimiento, al igual que todo el universo, no sólo existía sino que era matemático. Aqui entra en escena Zenón, quien era ferviente defensor de las ideas de Parménides. Él consideró la siguiente "paradoja" acerca del movimiento a la cuál no se le pudo encontrar una respuesta definitiva y contundente hasta el siglo XVII ¡ Más de dos mil años después ! La paradoja de Aquiles y la tortuga Aquiles decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al empezar la carrera, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más en el tiempo que le tomó a Aquiles llegar. Este proceso lo podría repetir indefinidamente hasta que la tortuga gane la carrera, pues cada vez que llegue a donde estaba la tortuga, esta ya va a haber avanzado un poco más. Aquiles de esta manera estaría siempre detras de la tortuga Zenón, de esta manera, pretendía demostrar que el movimiento era ilusorio y no podía ser explicado por las matematicas ya que no era más que una sensación.

Hola gente de taringa... les comento que hace un tiempo empece un blog de divulgación y curiosidades matemáticas. Les dejo la última nota que subí y los invito a que pasen por el blog. Gracias ! http://entremateymaticas.blogspot.com.ar/ Eratóstenes y cómo medir la Tierra con un palo Nunca me voy a olvidar de mi maestra de 5to grado. Con ella debería haber aprendido la famosa regla de tres simple, no se si la recuerdan... Si una docena de huevos sale $15, ¿cuánto me salen 5 huevos? 12 huevos -------------- $15 5 huevos --------------- X Lo que debería haber aprendido en aquel entonces es que X = 5 x 15 / 12. Es decir, que 5 huevos salen $6,25. Pero lo cierto es que esta agradable docente de 5to grado nos gritaba tanto que recién pude entender esta sencilla regla en 6to grado, un año más tarde... y con otra maestra. Quizás tambien les suene que si cortamos una pizza en 4 porciones iguales, el ángulo de cada porción es de 90°, o sea que la pizza entera tiene 360°. Bueno, eso también lo aprendí en la primaria. Eratóstenes y la pizza de 50 porciones Eratóstenes fue un señor griego que vivió en Egipto cerca del 200 a.C, es decir, hace unos 2200 años. Como era costumbre en aquella época tener distintos "hobbies", él no quería ser menos, así que fue matemático, geógrafo, poeta, astrónomo, músico y ¡ hasta atleta ! Este señor no es conocido ni por sus poemas, ni por su música, ni por sus lanzamientos de javalinas. Es conocido por algo mucho más sorprendente, es conocido por haber medido la circunferencia de la Tierra, sin moverse de Egipto y usando únicamente un palo. Un palo. Sí, un simple, común y ordinario palo. Pero, ¿esto es un chiste? No no, esto no es un chiste, les voy a explicar un poco. Todo empezó cuando estubo a cargo de la Biblioteca de Alejandría, algo así como la Wikipedia de aquella época. Un buen dia, leyó un papiro que comentaba que en la ciudad egipcia de Siena, el 21 de junio de cada año, al mediodía, el sol se ubicaba justo arriba de las cabezas de la gente, lo que ocacionaba que, si uno clavaba un palo en la tierra, al mediodía, no iba a proyectar sombra alguna. Esto que parece un dato cotidiano y sin mucha importancia fue captado por la curiosidad de Eratóstenes. Entonces esperó hasta el 21 de junio, y clavó un palo en la tierra de Alejandría. Resulta que al mediodía, el palo tenía sombra. "¡Caramba!" - dijo (probablemente en griego) ¿Como puede ser que, si la Tierra es plana, un palo en Alejandría proyecte una sombra y uno en Siena, al mismo tiempo, no proyecte ninguna? Pero hay una manera de que esto tenga sentido: que la Tierra sea curva. Eratóstenes supuso que la Tierra era esférica, y para encontrar su circunferencia lo que hizo fue medir la sombra que proyectaba el palo en Alejandría; echando mano sobre algunos conocimientos básicos de trigonometria pudo encontrar el ángulo que formaban los rayos del sol con el palo en Alejandría (a) que resultó ser de 7,2°. Cabe aclarar que si pudiéramos trazar una línea desde los palos hacia abajo, ambas líneas se cruzarían en el centro de la Tierra, formando un ángulo (a) también de 7,2°, que es justo la quincuajésima parte de 360°. Es decir, si uno cortara una pizza en 50 porciones, cada porción formaría un ángulo de 7,2°. El último paso fue pagarle a una persona para que midiera exactamente a qué distancia de Alejandría estaba la ciudad de Siena. El rudimentario empleado tuvo que caminar contando los pasos hasta esta ciudad, e informó que la distancia era de 787 km, ¡ todo un viajecito ! Para concluir, si cada "porción" de 7,2° equivale a 787 km, entonces la pizza o circunferencia (de la Tierra) entera (50 porciones) equivale a 50 x 787 km = 39350 km. ¡ Regla de tres simple ! Hoy, con toda la tecnología que hay a nuestra disposición y con todos nuestros conocimientos, sabemos que la cirfunferencia de la Tierra es de alrededor de 40000 km, esto quiere decir que el cálculo de nuestro amigo griego tuvo un error menor al 2%. Bastante bien para el 200 a.C. Eratóstenes midió la Tierra usando conocimientos de la escuela primaria actual, evidentemente elementales. Esto muestra que el conocimiento es una herramienta, aveces indispensable, pero que el verdadero motor detrás de los grandes genios es la creatividad... ... aunque ayuda mucho si además se tiene a mano un palo.

Hola gente de taringa... les comento que hace un tiempo empece un blog de divulgación y curiosidades matemáticas. Les dejo la última nota que subí y los invito a que pasen por el blog. Gracias ! http://entremateymaticas.blogspot.com.ar/ La Falacia del Jugador Imaginemos la siguiente situación. Entramos a un casino, luego de tomar algo y dar una vuelta nos sumamos a una mesa de ruleta. Quizás sepan que hay muchas formas distintas de apostar en un juego de ruleta, pero, para hacerla fácil vamos a jugar sólo a color. ¿Qué significa esto? En la mesa de ruleta hay 37 números que van desde el 0 al 36. Cada número salvo el 0 tiene un color (ROJO o NEGRO). Jugar a color significa apostar a que sale un número ROJO o un número NEGRO y la apuesta es de tipo 1:1, es decir, que si uno gana con esta apuesta se le dará una ficha por cada una que apostó. Bueno, entonces decíamos que íbamos a jugar a color, pero antes de jugar vemos que en un panel se muestran los últimos 15 números que salieron con su respectivo color. Resulta que 13 de las 15 veces salió un número NEGRO, una vez salió el 0, y una vez salió un número ROJO. Le pregunto ahora al lector: ¿Apostarías a NEGRO o a ROJO? ¿Por qué? Te invito a que te tomes un tiempo antes de seguir leyendo para pensar un poco en esta pregunta. ¿Ya pensaste...? . . . . ¿...Seguro? . . . . Bueno... Quizás haya gente que responda que es más probable que salga un número NEGRO porque ya salió muchas veces. Quizás haya gente que piense que es conveniente apostar a un número ROJO porque la cantidad de veces que sale NEGRO y ROJO debería tender a equilibrarse. Si vos respondiste alguna de estas dos... ¡Felicitaciones! ¡Sos una víctima de la "Falacia del Jugador"! Cuando vemos una mesa de casino (y si aceptamos que el proceso de elección del número ganador es aleatorio al menos desde el punto de vista del jugador), podemos entender que hay 37 números, 18 son NEGROS y 18 son ROJOS, entonces nuestra probabilidad de que salga el color que nosotros elegimos es 18 dividido 37, o dicho de otra manera algo así como %48. Esto quiere decir que mientras más veces jugamos, si multiplicamos 100 x el numero de veces que ganamos dividido el numero total de jugadas, nos va a dar parecido a %48. Observemos que no es lo mismo que decir que la diferencia entre la cantidad de jugadas ganadoras y la cantidad de jugadas perdedoras va a decrecer. Para esto, veamos un par de ejemplos: Supongamos que jugamos a NEGRO (N) siempre y sale esta serie de resultados: R-R-0-N-R Veamos la diferencia entre jugadas ganadoras y perdedoras. Son 4 jugadas perdedoras contra 1 ganadora: Ganadoras - Perdedoras = 1 - 4 = -3. El porcentaje de ganadoras es: 100 x ganadoras/total = 100 x 1 / 5 = %20 Hagamos 5 jugadas más... R-R-0-N-R-N-R-N-R-R Diferencia entre ganadoras y perdedoras: 3 - 7 = -4 Porcentaje de ganadoras: 100 x ganadoras / totales = 100 x 3 / 10 = %30 ...Juguemos 10 veces más... R-R-0-N-R-N-R-N-R-R-N-R-N-R-R-N-R-R-N-R Diferencia entre ganadoras y perdedoras: 7 - 13 = -6 Porcentaje de ganadoras: 100 x ganadoras / totales = 100 x 7 / 20 = %35 Fijense que lo que nos indica cuánta plata perdemos o ganamos es la diferencia entre ganadoras y perdedoras que, en este caso, nos hizo perder cada vez más plata. Sin embargo, ¡ el porcentaje de jugadas ganadoras fue aumentando ! Dicho de otra manera, A lo largo de las 20 jugadas, fuimos perdiendo cada vez más plata, ¡pero nuestro porcentaje de jugadas ganadoras fue aumentando ! Es más, lo esperable es que el porcentaje de jugadas ganadoras se acerque a %48, pero nos dice poco sobre la diferencia entre jugadas ganadoras y perdedoras, que es lo que en definitiva nos importa. Entonces si... a) La diferencia entre cantidad de jugadas ganadoras y cantidad de jugadas perdedoras. b) El porcentaje de jugadas ganadoras con respecto al total de jugadas. El caso más común de falacia del jugador sucede si ... ... se confunde a) con b). Antes de terminar la nota me voy a tomar la libertad de compartir una pregunta que a mi me resulta fascinante: ¿Por qué la probabilidad y la estadística describen tan bien a nuestro entorno?

Hola gente de taringa... les comento que hace un tiempo empece un blog de divulgación y curiosidades matemáticas. Les dejo la última nota que subí y los invito a que pasen por el blog. Gracias ! http://entremateymaticas.blogspot.com.ar/ Existen 10 tipos de personas... La semana pasada, navegando por internet, me encontré con una frase supuestamente cómica que decía así: "Existen 10 tipos de personas: Las que saben binario, y las que no." Aquellos que sepan un poco de matemática o de computación probablemente entiendan esta frase, y hasta les cause cierta gracia. Por el otro lado van a estar las personas que dicen simplemente: "No entendí". Con un poco de suerte, para el final de la nota, a todos nos va a causar gracia la frase. 1. ¿Por qué el número diez es tan fácil? Diría que es sabido y natural para todos que trabajar con el número diez es muy sencillo. Dejenme explicarme: Sumarle 10 a un número es casi instantáneo... 1435 + 10 = 1445 (Sumo 1 a la segunda cifra empezando por la derecha) Ni hablar de multiplicar por 10... 39 x 10 = 390 (Agrego un 0 detrás del ultimo número) ¿Pero qué tiene el diez? ¿Es un número divino o fantástico? Además, como si fuera poco... ¡ los seres humanos tenemos por lo general 10 dedos en las manos en total ! ¡ Justo nuestra herramienta más fácil de usar a la hora de contar ! ¡ Increible ! ¡ Qué casualidad ! No se a ustedes, pero a mi, las casualidades increibles me hacen sospechar. Hagamos un juego, supongamos que en Marte, los marcianos conocen los símbolos del 0 al 8 pero el 9 no, nunca se inventó, si algún marciano lo viera diría que es un 6 al revez, nada más. Ojo, no es que no conozcan el número nueve. El número nueve sería, al igual que en la Tierra, el que le sigue al 8. Bueno, entonces empecemos a contar en Marte: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.... No no, ¡ me equivoqué ! el 9 no lo conocen. Empecemos otra vez: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, ... (*) Ahí está mejor, fijense que nos salteamos el 9 y el 19, y, si siguieramos, nos salteariamos el 29, 39, etc... Pero, si un marciano tuviera nueve caramelos en la mano, ¿ cómo lo escribiría ? Bien, si tiene nueve caramelos tendría que escribir "Tengo 10 caramelos en la mano.", por que, si se fijan en el sistema marciano, 10 es el noveno número. De la misma manera, si tiene diecinueve caramelos tendría que escribir "Tengo 21 caramelos.", y si tuviera dieciocho sería "Tengo 20 caramelos.". Quizas parezca confuso al principio, pero no se preocupen... Realmente lo es. Sin embargo, si siguen la tablita con el (*) se les va a hacer más fácil. Hagamos algunas cuentas con el número nueve en la Tierra y en Marte: En la Tierra: 4 + 9 = 13 En Marte, la misma cuenta sería : 4 + 10 = 14 En la Tierra: 7 x 9 = 63 En Marte, la misma cuenta sería: 7 x 10 = 70 En la Tierra: 9 x 9 = 81 En Marte, la misma cuenta sería 10 x 10 = 100 Notarán que operar con el numero nueve en Marte es mucho más comodo que en la Tierra. Para los marcianos, el número nueve es fascinante, divino, fantástico y todo lo demás, pero para nosotros es, de hecho, un número bastante molesto. ¿Qué fue lo que cambió? La única diferencia entre los marcianos y nosotros es que usamos un sistema de numeración diferente. Nosotros usamos un sistema en base diez, y ellos un sistema en base nueve. Esto quiere decir que nosotros, para expresar cualquier número, por grande que sea, hacemos una combinacion de diez simbolos, estos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Por el otro lado, los marcianos, para expresar cualquier número, por grande que sea, usan nueve símbolos, estos son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Recuerden que los marcianos escriben el nueve como 10, y el diez como 11. Para ellos, el numero diez (11) es muy molesto a la hora de hacer cuentas, el diez, para los marcianos, es horrible. Sin embargo, el número sencillo es el nueve. 2. ¿ Y la frase del principio ? La frase del principio está escrita usando el sistema binario, es decir el sistema que usa sólo dos simbolos, el 0 y el 1 para representar cualquier número. Si empezamos a contar en sistema binario nos quedaría algo así: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10000... Si releemos la frase... "Existen 10 tipos de personas: Las que saben binario, y las que no." ... ¿se entendio? Hagamos una reflexion. Al viajar a nuestro planeta vecino, nos dimos cuenta que nuestro 10 (diez) no es realmente un número tan mágico. Es mágico para nosotros simplemente por nuestra manera de contar, por nuestra organización. El número en sí es tan lindo y tan feo como todos los demás. Lo que sí podemos afirmar entonces, es que operar con el primer número que se representa con dos cifras es muy fácil para todos los sistemas. El diez para nosotros, el nueve para los marcianos, y el dos para los que usan binario. Después de todo, algo que parecía tan natural, tan verdadero e incuestionable como la facilidad del diez se desploma apenas cambiamos nuestro punto de vista. Apenas empezamos a ver las cosas como las vería un marciano.

El barbero de Russell Hola gente de taringa... les comento que hace un tiempo empece un blog de divulgación y curiosidades matemáticas. Les dejo la última nota que subí y los invito a que pasen por el blog. Gracias ! http://entremateymaticas.blogspot.com.ar/ Si uno quiere hacerse cortar el pelo en Buenos Aires o cualquier otra gran ciudad y no sabe dónde hay una peluquería, no tiene más que salir a la calle, caminar algunas cuadras y sin lugar a dudas encontrará una. Pero si uno está en un pueblo las opciones son menos, y encontrar un lugar apropiado requiere que le preguntemos a alguna otra persona que conozca el lugar si no es que queremos caminar en vano. La siguiente historia cuenta sobre un pueblo diminuto en un lugar y tiempo muy lejano que, para colmo, contaba con sólo un barbero para todos los habitantes. Por más que el pueblo fuera chico, este barbero tenía mucho trabajo y era común que sus clientes se acumularan en la entrada a esperar su turno para ser atendidos. Esto era cosa de todos los días, pero el problema surgió cuando el mismísimo jefe del pueblo decidió pasear por las calles y hacerse cortar el pelo allí. En la única barbería. Ese día, como muchos otros, el pobre peluquero trabajaba sin descanso y no pudo evitar hacer esperar a los demás clientes... sin excepción. ¡Qué barbaridad! ¡El jefe del pueblo tuvo que perder unos 15 minutos de su vida esperando a ser atendido! Lo cierto es que, por más malcriado que fuera este señor, no era un mal hombre, y entendía que la culpa no era de la gente y mucho menos del pobre barbero que trabajaba desde la mañana hasta la noche, así que ese mismo día decretó la siguiente ley: ''Los habitantes que sepan cortarse el pelo a sí mismos deberán hacerlo. El barbero sólo cortará el pelo de los que no puedan hacerlo ellos mismos.'' En un principio todo estuvo bien. El pueblo estaba claramente dividido en quienes sabían ocuparse de su propio mantenimiento y los que no. La gente ya no tenía que hacer largas colas para hacerse atender por el barbero y todos disfrutaron de esta nueva organización. El tiempo pasó y un día nuestro querido peluquero se dió cuenta que tenía ya el pelo muy largo. Pero él era un hombre de ley y quería respetar la nueva norma, pero se sobresaltó al preguntarse lo siguiente: - ¿Quién ha de cortarme el pelo a mí? Para él, el problema era muy claro. Según la nueva ley, él debía cortarle el pelo unicamente a las personas que no podían hacerlo por sí mismas, mientras que los demás debían hacerlo ellos mismos. Si el barbero sabía atenderse a sí mismo, entonces él se lo debía cortar. Pero él mismo era el barbero entonces sólo le cortaría a personas que no saben cortarse a sí mismas. Por otro lado, si supusiera que él no sabe cortarse el pelo, entonces el barbero (o sea él mismo) debería cortarle el pelo, pero entonces él sabría como cortarse el pelo, llegando a una contradicción. Este problema se conoce popularmente como "La paradoja del barbero". Es claro que el problema se resolvería sencillamente agregándole a la ley una nueva línea que aclarara que el caso del barbero era excepcional y que él debía cortarse a sí mismo el pelo a pesar de que sepa cortarse a sí mismo el pelo... por más extraño que suene. Pero la ídea detrás del cuento es más profunda que sólo cómo resolver este problema cotidiano. La paradoja del barbero es una forma sencilla de entender un problema que observó el matemático Bertrand Russell con respecto a la teoría que estaba apunto de publicar su colega Georg Cantor. El enunciado formal de Russell hablaba de conjuntos en vez de personas y de relaciones de pertenencia en vez de cortes de pelo pero escencialmente eran lo mismo. Cantor terminó revisando su teoría de conjuntos y superando este problema del barbero de una manera elegante pero, después de todo, viendo la foto de ambos señores me queda la duda de si todo este problema del peluquero tendría algo que ver con... ...los pelos de sus cabezas, ¿no?.