Gabuu_Ralez

2.1 Teoría de Conjuntos 2.1.1 Definición y operaciones entre conjuntos - Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si, que se llaman elementos del mismo. Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a Î A. En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota aÏ A. -Dados dos conjuntos A y B, se llama diferencia al conjunto A - B := {a Î A | a Ï B}. Asimismo, se llama diferencia simétrica entre A y B al conjunto A D B := (A - B) È (B - A). Si A Î (U), a la diferencia U - A se le llama complementario de A respecto de U, y se denota abreviadamente por A' (U se supone fijado de antemano). Es fácil ver que si A y B son subconjuntos cualesquiera de U se verifica: • Æ ' = U . • U ' = Æ . • (A')' = A . • A Í B Û B' Í A' . • Si A = { x Î U | p(x) es una proposición verdadera} entonces A' = { x Î U | p(x) es una proposición falsa}. 2.1.2 Técnicas de conteo. El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a n1 x n2. ¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio? Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios. n 10 x 9 x 8 = 720. 2.1.3 Regla la adición. Establece que si dos eventos A y B son mutuamente excluyentes la probabilidad de que uno u otro evento ocurra es igual a la suma de sus probabilidades. De lo anterior se puede deducir que la probabilidad de que ocurra A más la probabilidad de que no ocurra A debe sumar 1. A esto se le llama la regla del complemento. Esta regla establece que para determinar la probabilidad de que ocurra un evento se puede restar de 1 la probabilidad de que no ocurra. La Regla de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a: P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) si A y B son no excluyentes Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B 2.1.4 Regla de multiplicación. Si en un experimento tenemos que: i) el experimento se realiza en dos partes ii) la primera parte tiene m posibles resultados: x1 x2… xm y, no importando cuales sean estos resultados, la segunda parte del experimento tiene n resultados: y1,y2… yn Cada resultado del espacio muestral está dado por la pareja (xi,yi). De aquí que el espacio muestral tiene mxn resultados Ejemplo: Lanzamiento de dos dados. Como cada dado tiene 6 posibles resultados, el número total de posibles resultados es 6x6=36 Por supuesto, la regla de multiplicación puede extenderse a experimentos con más de dos partes. Si un experimento tiene k partes (k>2), tal que la iésima parte del experimento tiene n1 posibles resultados. Entonces el tamaño del espacio muestral es n1. n2… nk Ejemplo: Lanzamiento de 6 monedas. Como cada parte del experimento tiene 2 posibilidades (cara o cruz) tenemos entonces que el número total de posibles resultados es 2x2x2x2x2x2 = 64 2.1.5 Diagrama de árbol. El diagrama de árbol es un método para obtener los resultados posibles de un experimento cuando éste se produce en unas pocas etapas. Cada paso del experimento se representa como una ramificación del árbol. 2.1.6 Análisis combinatorio. Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos. Por ejemplo podemos averiguar cuántos números diferentes de teléfonos, placas o loterías se pueden formar utilizando un conjunto dado de letras y dígitos. Además el estudio y comprensión del análisis combinatorio no va a servir de almacenaje para poder resolver y comprender problemas sobre probabilidades Principios fundamentales del Análisis Combinatorio: En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado. El análisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos. Ejemplo : 1. Señalar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un número determinado de prendas de vestir. 2. Ordenar 5 artículos en 7 casilleros. 3. Designar 5 personas de un total 50 para integrar una comisión. 4. Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales. Si se lanzan simultáneamente un dado con 6 caras numeradas del 1 al 6 y una moneda de cuantas maneras puede caer. Suceso A (Dado): 6 Suceso B(Moneda): 2 6X2=12 Además el estudio y comprensión del análisis combinatorio no va a servir de almacenaje para poder resolver y comprender problemas sobre probabilidades Principios fundamentales del Análisis Combinatorio: En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo señalado. El análisis combinatorio también se define como una manera práctica y abreviada de contar; las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos. Ejemplo : 1. Señalar las maneras diferentes de vestir de una persona, utilizando un número determinado de prendas de vestir 2. Ordenar 5 artículos en 7 casilleros 3. Designar 5 personas de un total 50 para integrar una comisió 4. Escribir una palabra de 7 letras utilizando 4 consonantes y 3 vocales. l. Si se lanzan simultáneamente un dado con 6 caras numeradas del 1 al 6 y una moneda de cuantas maneras puede caer. Suceso A (Dado): 6 Suceso B(Moneda): 2 6X2=12