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TEORIAS SOBRE EL PLAN DE 2PAC PARA FINGIR LA MUERTE El 7 de Septiembre de 1996, Tupac asistió al combate de Mike Tyson en la ciudad de Las Vegas, y después de salir de allí, varios hombres le dieron alcance y le propinaron varios disparos. Suge Knight, el productor musical de Tupac que viajaba con él, lo llevo hasta el Hospital donde Tupac fue internado y permaneció 7 días en cuidados intensivos, hasta que finalmente el 13 de Septiembre a las 4:03 P.M. falleció. -------------------------------------------------------------------------------- PRUEBAS DE QUE 2PAC FINGIO SU MUERTE Existen Pruebas de que Tupac Amaru Shakur fingio su muerte, tal vez para librarse de sus enemigos, o quiza para hacerse mucho mas rico y de paso no ser culpado por la muerte de sus enemigos, pues como es sabido su principal enemigo Notorius B.I.G. fue asesinado 6 meses despues en Nueva York. Aqui estan las diferentes Teorias que lo demuestran: Tupac fue cremado y supuestamente recibio una autopsia, todo en menos de 24 horas. Primero, existe una foto de la autopsia en el libro ¨La muerte de Tupac Shakur escrito por Cathy Scott, pero al ver la foto, se aprecia que es un montaje, ademas cómo iba una reportera a obtener esa foto del F.B.I.? y ademas es la unica foto que hay de Tupac despues de abandonar el espectaculo boxistico. Por que la foto es de lado?, por que no de frente mostrando su rostro?,etc. Ademas , el certificado de fallecimiento dice que tupac medía mas de 1.80 m de estatura, cuando solo media 169 y que pesaba 215 Lbs. cuando en realidad pesaba 165 Lbs.????????????? Los servicios de velacion se abrieron al publico y despues fueron cancelados tanto en Atlanta como en los Angeles sin ninguna razon o explicacion Apesar de que las Vegas es una ciudad muy concurrida y muy pequeña no hubieron testigos ni mucho menos fotos en la escena del crimen ni en los 7 dias que permanecio en el hospital. Tampoco la policia persiguio a los asesinos, cuando en esta ciudad la policia utiliza hasta helicopteros para las persecusiones. El cadilac blanco de los asesinos nunca fue encontrado y las Vegas estan en medio del desierto. Tupac siempre usaba chaleco antibalas pero esa noche se lo quitó a pesar de que minutos antes tuvo un pelea con Orlando Anderson un pandillero. El vehiculo de 2Pac recibio 12 disparos y Suge que iba conduciendo no recibio ni un tiro solo fue rozado por una bala. Además: Después de 4 años de su supuesta muerte, en el mercado hay 4 nuevas MUCHOS C.D.´s los cuales dicen que contienen musica que Tupac grabo hace tiempo. Pero son demasiadas canciones y además en Estados Unidos se comercializa ilegalmente canciones de 2pac que aun no han salido al mercado y no se sabe de donde provengan. Es tan extraño, que hasta ahora se venden ilegalmente 16 C.D.´s o más, de musica (MAKAVELI 2 al 17) que no ha salido al mercado, algunos de ellos dobles con musica solo de 2PAC !!!!!!!!!!!!!!! Cabe anotar que cuando una cancion sale al mercado, hasta las líricas cambian... Ademas acaba de salir un libro con recopilaciones de Poemas de Tupac... Pero si Tupac "murió" a los 25 años, estuvo preso muchos meses y solo en 1995 lanzo su C.D. " All Eyez On Me" con el sello disquero DeathRow. En que tiempo hizo TODO esto?...Muchas cosas no concuerdan ... En el ultimo video(Ain´t Mad At Cha, de All Eyez On Me) que grabo Tupac antes de morir, el video se trata de que 2pac es asesinado y llega al cielo donde se encuentra con otros artistas ya fallecidos;la cancion sin embargo no habla sobre la muerte. El siguiente video lanzado al mercado fue Toss it Up, del C.D. Makaveli, donde supuestamente aparece Tupac quienal final del video quiebra un espejo con un bate sin ninguna razon aparente. Y qué se dice que ocurre cuando alguien quiebra un espejo??? 7 años de mala suerte...???!!! Aparece el numero 7 en canciones y videos y hasta en las Peliculas donde actuo Tupac... LA TEORIA DE LOS 7 DIAS: 2Pac murió el Viernes 13 la cual es una fecha especial. Esto ocurrio en el mes de Septiembre, es decir exactamente 7 meses despues de haber lanzado su ultimo trabajo llamado All Eyez On Me. Tambien 2Pac fue abaleado el 7 de Septiembre, sobrevivió 7 días y murió a las 4:03 ( 4 + 3 = 7 ) a la edad de 25 ( 2 + 5 = 7 ). Días después de su muerte, fue lanzado el CD The Don Killuminati The 7 Day Theory en el cual su nombre artístico es MAKAVELI y en cuya portada aparece un retrato de 2Pac crucificado. Nadie sabe que significa Killuminati pero se dice que es el nombre de su plan....En el nuevo C.D. llamado Still I Rise,lanzado el 21 de Diciembre de 1999, hay una canción titulada así y habla de su misterioso plan!!. En el C.D. de MAKAVELI aparecen muchas claves relacionadas con la teoria, veamos algunas...: El titulo de CD es: La Teoría De Los 7 Días. Al aparecer crucificado quiere darnos a entender que sería sacrificado como JesuCristo, y que volvería a la vida Nuevamente tal como Cristo lo hizo. El productor ejecutivo del CD es extrañamente SIMON. En la Biblia Simon fue el primer discipulo que al ir a la tumba de Jesús, comprobó que El ya habia resucitado. Tal vez Suge Knight el productor ejecutivo de siempre que es su gran amigo, estaba al tanto de sus planes... El estudio de grabación tambien es desconocido, en el album dice que el estudio se llama el sueño de Josué(Joshua´s Dream). Según la Biblia Josué tuvo un sueño relativo a la resurrección de Cristo. Dentro de la portada del CD dice: Sale-2Pac Entra-Makaveli como si 2Pac muriera y naciera Makaveli MAKAVELI significa o se refiere a: Nichollo Machavelli(Nicolas Maquiavelo) quien fue un italiano estratega de guerra, politico, teologo-militar, historiador, escritor diplomatico y militar. En sus escritos planteaba que al fingir la propia muerte se podria engañar a los enemigos. 2Pac leyó sus libros cantidad de veces. Algunos de sus libros son: El Principe y El Arte de la Guerra. ( El album del grupo Bone Thugs N´ Harmony en el cual canta 2Pac tiene este mismo titulo: El Arte De La Guerra. Sera esto una coincidencia?. Además en una cancion titulada Thug Love del grupo Bone y 2pac lanzado el año de 1997, se escucha una voz antes de que 2pac cante, que dice: EstaVivó, Está Vivo!!! PRUEBAS EN SUS LIRICAS En la cancion UNTIL THE END OF TIME remix, al final de la cancion 2pac dice: " No se que es lo que me hace actuar como loco aqui donde estoy, talvez es por lo que me rodea, por la forma en que Ustedes me tratan. Pero no es un misterio que volveré, no puede decirles cuando..." En la canción M.O.B. tupac dice: "dios bendiga mi vida loca, LA VIDA LOCA(en español), aumentando la violencia..." -Como en la cancion de Ricky Martin 2000. En la cancion BALAD OF A DEAD SOULJA "estoy listo a irme de la ciudad y recolectar mi dinero, estoy aliado con Castro..." Sera Fidel Castro? En la cancion LET´S BE FRIENDS Tupac ofende otra vez a Dr. Dre, y el solo lo hizo en el album MAKAVELI, que supuestamente fue el ultimo CD que 2pac grabó,antes de morir- dice: "Que se joda Dr. Dre! Díganle a esa ramera que me puede besar el culo... " En la cancion LIL HOMIES del CD UNTIL THE END OF TIME, no dice nada raro, pero en la version original de la cancion, la lirica es mucho mas larga al final y ofende a LL COOL J y dice cosas muy sospechosas En la cancion LET EM HAVE IT notamos algo raro que se ha notado en las ultimas canciones de 2pac y es que dice palabras y frases en español, para los que apoyan la teoria de que esta en Cuba, le dice a una chica"Te quiero coger..." y mas adelante dice: "es bellisimo, que linda, dame beso come to papi... " En la cancion GOOD LIFE 2pac dice: "por que talvez si muriera, y regresara, ya no me tocaría vender droga ... " En la cancion BREATHIN´ 2pac dice: "Me desperté con 50 enemigos planeando mi muerte, todos los 50 viendo visiones de mi con tiros en mi pecho..." Los 50 enemigos creo que se refieren a los 50 estados de U.S.A. En la canción MY CLOSEST ROADDOGZ, en la version original inedita, Ttupac solo canta dos versos y Big Syke a.k.a. MUSSOLINI canta otros dos, extrañamente en la nueva version Tupac canta tres versos, y dice una de las mas grandes pistas a resolver este misterio.2pac dice: - ¨la cama ardiente fue la señal reveladora... ¨ Aqui se refiere a que todos esperaban el zepelio de 2pac pero supuestamente fue cremado. En la cancion THIS AIN´T LIVING hay una parte editada pero en la version original 2pac dice: - ¨yo desaparezco y reaparezco como el Negro en el Septimo año...¨ Bueno os espero que comenten y aclaren por que con estas teorias para mi tupac shakur esta vivo todavia y si no fuera asi todavia esta vivo y estara por siempre en mi

Hola Amigos De Taringa Hoy vengo con un videos para que al mirarlos simules un efecto de los ojos que dura aproximadamente 10 seg pero que es increible y funciona recomiendo que cuando mires un video lo mires fijamente a la mitad y no parpadees luego de 40 segundos transcurridos puedes mirar para las paredes y podras ver como se mueven las cosas El Diamante Alucinogeno link: http://www.youtube.com/watch?v=6fix33J0Lhg La Cruz Alucinógena link: http://www.youtube.com/watch?v=mvQ99aZmBWU Mueve Paredes link: http://www.youtube.com/watch?v=yEgqy8sCnoM&feature=plcp En Lo Profundo link: http://www.youtube.com/watch?v=BF7bNe1il0M&feature=related Paredes Movidas link: http://www.youtube.com/watch?v=VkVKcUnDdLY&feature=plcp PRONTO SUBIRE MAS VIDEOS Y DROGAS AUDITIVAS SE QUE ALGUNOS LAS CONOCES PERO YO VOY A SUBIR UNAS NUEVAS QUE NO SON DE LA PAGINA OFFICIAL

Hola compas hoy les traigo algunas imágenes sobre cosas interesantes que tal vez no sabias, espero que las disfruten, saludes

Hola amigos de taringa, actualmente ando cursando mi segundo semestre de ing. de sistemas y pues vi estos apuntes en Internet, y me dije WOW!! esto es exactamente lo que estoy viendo en mi curso y son muy buenos ya que te explican los conceptos de forma resumida pero entendible, bueno sin mas que decir les dejo el contenido, espero que les sirva Lógica Matemática Elemental Lección 1 - Lógica de Proposiciones Contenido 1.1 Proposiciones y Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 2 1.1.1 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2 1.1.2 Valor de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3 1.1.3 Proposición Compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 3 1.1.4 Variables de Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 3 1.1.5 Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 4 1.2 Conexión entre Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 4 1.2.1 Conjunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 4 1.2.2 Disyunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5 1.2.3 Disyunción Exclusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5 1.2.4 Negación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5 1.2.5 Tautologias y Contradicciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 7 1.2.6 Proposición Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 7 1.2.7 Proposición Reciproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 10 1.2.8 Proposición Contrarreciproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 11 1.2.9 Proposición bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 12 1.3 Implicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 15 1.3.1 Implicación Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 15 1.3.2 Implicación Lógica y Proposición Condicional . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 16 1.3.3 Implicaciones Lógicas mas Comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 17 1.4 Equivalencia Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 18 1.4.1 Proposiciones Lógicamente Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 18 1.4.2 Equivalencia Lógica y Proposición Bicondicional . . . . . . . . . . . . .. . . . 19 1.4.3 Equivalencias Lógicas mas Comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 21 Lección 2 Lógica de Predicados Contenido 2.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1 Predicado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.2 Universo del Discurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3 Predicados y Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 Cuantificador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Valor de Verdad del Cuantificador Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.3 Cuantificador Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.4 Valor de Verdad del Cuantificador Existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.5 Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Calculo de Predicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.1 Implicación Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.2 Equivalencia Lógica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.3 Leyes de De Morgan Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.4 Regla general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.5 Proposiciones al Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3.6 Predicados al Alcance de un Cuantificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3.7 Asociatividad y Distributividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Lección 3 Razonamientos y Demostraciones Contenido 3.1 Razonamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.1 Razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.2 Razonamiento Valido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.3 Falacia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2 Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.1 Regla de Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.2 Reglas de Inferencia mas Usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3 Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.2 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.3 Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.3.4 Demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.4 Razonamientos y Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4.1 Definiciones Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4.2 Regla de Particularizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4.3 Regla de Generalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.5 Metodos de Demostración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5.1 Demostración Vacia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5.2 Demostración Trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5.3 Demostración Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5.4 Demostracion por la Contrarrecıproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5.5 Demostración por Contradicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5.6 Búsqueda de Contra-ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 logica Matemática Discreta Lección 1 Conjuntos y Subconjuntos Contenido 1.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Conjuntos y Elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Determinación por Extensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Determinación por Comprensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.4 Conjunto Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.5 Conjunto vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.6 Axioma de Extensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Inclusión de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Inclusión Estricta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.5 Caracterización de la Igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.6 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.7 Transitividad de la Inclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lección 2 Operaciones con Conjuntos Contenido 2.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Unión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Intersección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.3 Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.4 Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.5 Diferencia Simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Álgebra de conjuntos. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Leyes Idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Leyes Conmutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.3 Leyes Asociativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.4 Leyes Distributivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.5 Leyes de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.6 Ley Involutiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.7 Leyes del Complementario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.8 Leyes de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Conjunto de las Partes de un Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Producto cartesiano de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.1 n-tupla ordenada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.2 Igualdad de n-tuplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.3 Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.4 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Lección 3 Principios Básicos de Conteo Contenido 3.1 Partición de un Conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.1.2 Recubrimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.3 Cardinal de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Principio de Adición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.2 Regla de la Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 Principio de Multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3.2 Regla del Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Principio de Inclusion-Exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4.3 Generalizacion del Principio de Inclusión-Exclusion . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5 Principio de Distribución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.5.2 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Lección 4 Permutaciones y Variaciones Contenido 4.1 Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.1.2 Numero de Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2 Permutaciones con Repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.2.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2.2 Numero de Permutaciones con Repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.3 Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.3.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3.2 Formación y Numero de Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.4 Variaciones con Repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.4.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.4.2 Formación y Numero de las Variaciones con Repetición . . . . . . . . . . . . . 97 Lección 5 Combinaciones. Teorema del Binomio Contenido 5.1 Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.1.2 Formación y numero de combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.2 Teorema del Binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.2.1 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2.2 Formula de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2.3 Triangulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.3 Combinaciones con Repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.3.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.3.2 Numero de combinaciones con repetición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Lección 6 Relaciones Contenido 6.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.1.1 Relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.1.2 Igualdad de Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.2 Relaciones Binarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.2.1 Dominio e Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.3 Matriz de una Relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.3.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.4 Grafo Dirigido de una Relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.4.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.4.2 Representación Ara de un Grafo Dirigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.5 Propiedades de las Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.5.1 Reflexividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.5.2 Simetría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.5.3 Asimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.5.4 Antisimetrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.5.5 Transitividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Lección 7 Relaciones de Orden Contenido 7.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.1.1 Relacion de Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.1.2 Relación de Orden Estricto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.1.3 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7.1.4 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7.2 Conjuntos Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.2.1 Elementos Comparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.2.2 Orden Parcial y Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 7.2.3 Conjuntos Ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.3 Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 7.3.1 Orden del Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.3.2 Orden Lexicografico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 7.4 Representación Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.4.1 Diagrama de Hasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 7.5 Ordenación Topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 7.6 Elementos Caracterısticos de un Conjunto Ordenado . . . . . . . . . . . . . 177 7.6.1 Elemento Maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.6.2 Elemento Minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.6.3 Existencia del Maximal y Minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.6.4 Algoritmo para la Ordenación Topologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.6.5 Elemento Máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.6.6 Elemento Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 7.6.7 Unicidad del Maximo y el Mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.6.8 Cota Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.6.9 Cota Inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 7.6.10 Conjunto Acotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.6.11 Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.6.12 ´ Infimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.6.13 Unicidad del ´ Infimo y el Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Lección 8 Relaciones de Equivalencia Contenido 8.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 8.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 8.1.2 Digrafo asociado a una Relacion de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.2 Clases de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.2.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.2.2 Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 8.3 Conjunto Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.3.2 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.3.3 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Lección 9 Funciones Contenido 9.1 Definiciones y Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 9.1.1 Funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 9.1.2 Dominio e Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 9.1.3 Igualdad de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.1.4 Funcion Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.2 Composicion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.2.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9.2.2 Proposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 9.2.3 Asociatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.3 Tipos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.3.1 Funcion Inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 9.3.2 Funcion Suprayectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.3.3 Funcion Biyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 9.3.4 Composicion y Tipos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 9.4 Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 9.4.1 Funcion Invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 9.4.2 Caracterizacion de una Funcion Invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 9.5 Composicion de Funciones e Inversa de una Funcion . . . . . . . . . . . . . 258 9.5.1 Proposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 9.5.2 Unicidad de la Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 9.5.3 Inversa de la Composicion de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Lección 10 Divisibilidad. Algoritmo de la División Contenido 10.1 Algoritmo de la Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 10.1.1 Existencia y Unicidad de Cociente y Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 10.1.2 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 10.2 Sistemas de Numeracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.2.1 Descomposicion Polinomica de un Numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 10.2.2 Representacion Hexadecimal de un Octeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 10.2.3 Representacion Binaria de un Hexadecimal de Cuatro D´ıgitos . . . . . . . . . . 277 10.3 El principio del Buen Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 10.3.1 Conjunto Bien Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 10.4 Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 10.4.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 10.4.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 10.5 Criterios de Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 10.5.1 Criterio General de Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 10.6 Maximo Comun Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 10.6.1 Divisor Comun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 10.6.2 Maximo Com´un Divisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 10.6.3 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 10.6.4 Maximo Comun Divisor de Varios Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 10.6.5 Existencia y Unicidad del m.c.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 10.6.6 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 10.6.7 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 10.6.8 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 10.6.9 Mas Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 10.7 Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.7.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 10.7.2 Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 10.8 Mínimo Común Multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 10.8.1 Múltiplo Común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 10.8.2 Mínimo Comun Multiplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 10.8.3 Minimo Comun Multiplo de Varios Numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 10.8.4 Proposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 10.8.5 Proposicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 Lección 11 Teorema Fundamental de la Aritmética Contenido 11.1 Números Primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 11.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 11.1.2 Números Primos entre s´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 11.1.3 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 11.1.4 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 11.2 Criba de Eratostenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 11.2.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 11.3 Teorema Fundamental de la Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 11.3.1 Lema de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 11.3.2 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 11.3.3 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 11.3.4 Teorema Fundamental de la Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 11.3.5 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 11.4 Divisores de un N´umero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 11.4.1 Criterio General de Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 11.4.2 Obtención de todos los Divisores de un Numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 11.4.3 Numero de Divisores de un Numero Compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 11.4.4 Suma de los Divisores de un Numero Compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 11.5 Metodo para el Calculo del Maximo Comun Divisor y el Mínimo Común Múltiplo . . 339 11.5.1 Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 11.5.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 11.5.3 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 Lección 12 Ecuaciones Diofánticas Contenido 12.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 12.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 12.2 Solución de una Ecuación Diofántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 12.2.1 Solución Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 12.2.2 Solución General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Lección 13 Clases de restos modulo m Contenido 13.1 Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 13.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 13.1.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 13.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 13.2.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 13.2.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 13.2.3 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 13.3 Conjunto de las Clases de Restos Modulo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 13.3.1 Relación de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 13.3.2 Clases de Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 13.3.3 Conjunto Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 13.4 Aritmética en Zm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 13.4.1 Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 13.4.2 Bien Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 13.4.3 Elemento Neutro para la Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 13.4.4 Elemento Opuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 13.4.5 Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 13.4.6 Bien Definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 13.4.7 Elemento Neutro para el Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 13.4.8 Elemento Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 13.5 Euler, Fermat y Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 13.5.1 Función φ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 13.5.2 Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 13.5.3 Corolario (Fermat) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 13.5.4 Teorema de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 13.6 Teorema Chino del Resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 13.6.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 Grafos Contenido 14.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 14.1.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396 14.1.2 Vértices Adyacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 14.1.3 Representación Grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 14.1.4 Multigrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 14.1.5 Pseudografo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 14.1.6 Digrafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 14.2 Grados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 14.2.1 Grado de un Vértice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 14.2.2 Vértice Aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 14.2.3 Grafo Regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 14.2.4 Suma de los Grados de un Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 14.2.5 Grado de Entrada y de Salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 14.3 Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 14.3.1 Isomorfismo de Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 14.3.2 Invariante de un Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 14.3.3 Invariancia del Grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 14.4 Subgrafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 14.4.1 Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 14.4.2 Subgrafo Expandido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 14.4.3 Subgrafo Inducido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 14.4.4 Eliminación de Aristas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 14.4.5 Eliminación de Vértices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 14.4.6 Grafos Completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409 14.4.7 Complemento de un Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 14.5 Caminos y Ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 14.5.1 Camino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 14.5.2 Ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 14.5.3 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 14.6 Grafos Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 14.6.1 Vértices Conectados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 14.6.2 Grafos Conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 14.6.3 Proposición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 14.6.4 Componentes Conexas de un Grafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 14.6.5 Puntos de Corte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 14.6.6 Puentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 14.7 Caminos y Ciclos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 14.7.1 Ciclo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 14.7.2 Grafo Euleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 14.7.3 Primer Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 14.7.4 Camino de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 14.7.5 Segundo Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 14.7.6 Problema de los Puentes de Konisgberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 14.7.7 Tercer Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 14.7.8 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 14.7.9 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 14.8 Caminos y Ciclos de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 14.8.1 Ciclo de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 14.8.2 Grafo Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 14.8.3 Camino de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 14.8.4 Metodo desarrollado por Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 14.8.5 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 14.9 Representación de Grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 14.9.1 Matriz de Adyacencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 14.9.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 14.9.3 Corolario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 14.9.4 Caracterización de un Grafo Conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461 14.9.5 Matriz de Incidencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462 https://www.dropbox.com/s/1rljvvnie6mkalu/Apuntes%20Logica%20Y%20Mates%20Discretas.rar?dl=0 Gracias por visitar mi post y mas adelante traeré mas apuntes extraídos de la web y de los de mi U

¿Tupac negó su muerte? ¿Quien asesino a Tupac? La extraña muerte de Tupac, Teorias... #THUGQUITIAN#Introducción Buenos días o buenas noches, donde quiera que estén queridos internautas, sean bienvenidos a otro post, a otro rincón del internet lleno conocimiento. Mi alias es “ThugQuitan” y en esta ocasión he querido complementar mi anterior post sobre la “muerte” de Tupac, ¡ATENCION¡ esto solo son teorías, hasta el día de hoy no se sabe la verdad pura, la que todos hemos querido oler con gran pasión, en realidad me he interesado demasiado sobre las conspiraciones desde que empecé a seguir la filosofía de este gran hombre, mas allá de ser un músico, poeta empedernido u actor, él era más que eso, era una mente abierta tratando de abrir los ojos de los demás, de aquellos que eran ciegos ante la multitud. Desigualdades y una mala actitud estaba rondando en su pueblo negro, esto lo hizo actuar de una manera fuerte y sutil ante la gran elite.Bueno, a continuación me basare en una simple ¡EN UNA TEORIA, SOLO ES UNA TEORIA, SEÑORES! esta teoría es la que más me atrae acerca de la muerte de Pac, sin duda tiene mucha coherencia, se qué cualquier fan de Tupac que haya investigado a fondo ha escuchado alguna vez la palabra “Illuminati y Killuminati” si no sabes sobre los Illuminatis, es importante que googlees e investigues ¿Illuminatis? Solo daré una breve descripción, muy breve… Los Illuminati, a veces conocidos como el “Nuevo Orden Mundial”, son supuestamente una sociedad de familias ricas y poderosas que controlan básicamente todo en el mundo. Hay 13 familias en los supuestos illuminati y también se cree que las celebridades y otras personas ricas y poderosas trabajan para los Illuminati. Aquellos que creen en la conspiración Illuminati creen que los Illuminati controlan todo en el mundo, incluyendo las elecciones presidenciales, industria médica, la música, el cine y todo lo que tenga que ver con el dinero. Los creyentes de la teoría Illuminati creen que no sólo controlan casi todo en el mundo, sino que también son responsables de la muerte de las personas que están en contra de los Illuminati, al final del post dejare unos video que explican lo que estoy diciendo Tupac en illuminati. ¿Pac como llego a enterarse de ellos? Hay muchas teorías sobre los pensamientos reales de Tupac y su opinión acerca de los Illuminati, pero hay muchos que creen que los orígenes llegaron a él cuando fue a prisión en el año 1995. En la cárcel él aprendió demasiado sobre los Illuminati, entendió el por qué tantas desigualdades y por qué éramos controlados por una elite, los encarcelados le enseñaron mucho sobre aquel termino, aquellos encarcelados eran personas sabias que le mostraron un camino a Pac, el saber todo esto condujo a que Pac a que desarrollara un gran odio a la idea de los Illuminatis. ¿Odio por qué? Simple, porque a Pac no le gustaba que la gente fuera controlada, que la industria musical estuviera programando a la gente para otros actos, a pac no le gustaba que su pueblo negro fuera manipulado por la elite, esto desencadeno una gran ira en él ¿Qué es “Killuminati”? Tupac creó el movimiento “Killuminati” Kill = Matar… Illuminati = Killuminati …. = Matar o acabar con los Illuminati. Pac creó “Killuminati” con el fin de destruir a los Illuminati los cuales son una sociedad secreta con los más grandes líderes mundiales universales que están tratando de tener el dominio del mundo.¿Los Illuminatis asesinaron a Tupac? Te habras preguntado o tal vez escuchado ¿Por qué los Illuminati matan a las celebridades? Hay muchos casos de personajes famosos que murieron por los Illuminati. La investigación ha demostrado que las víctimas son a veces los desertores que quieren exponer a los ritos oscuros y secretos de la sociedad, pero hay otros casos, como el de Pac, que es tratar de enseñarle a la gente quien nos controla, quienes son los dueños de esta sucia sociedad encargada de controlar el mundo, pac tenia un objetivo y era acabar con ellos, suena irónico, pero así fue, te pregunto ¿Crees que a los Illuminati les gusta eso? “Por ahí he escuchado que quien dice la verdad será callado.”-Posibles razones de su muerte. Época de los 90’s. Tupac era un músico, un actor, un poeta, un filósofo, un político, etc. Al paso del tiempo se fue convirtiendo en una figura realmente famosa, la gente se estaba dando cuenta de su gran talento y de su gran potencial, pac empezó a atraer muchos fans, estaba ganando mucho respeto. Pac al tener ese odio, implemento el “Killuminati” donde pretendía acabar con los illuminati, mucha gente era fan de él, y mucha gente empezó a atender sus mensajes, jóvenes, adultos y viejos estaban empezando a ver la situación, a ver que su pueblo estaba siendo controlado, mucha gente empezó a seguir el movimiento “Killuminati” ¿Crees que a los illuminati les gustaría eso? Esto probablemente es la causa de su muerte. Algunos teóricos de la conspiración sostienen que Tupac fue asesinado por los Illuminati ya que Pac insultaba a los Illuminati en varias canciones y trataba de dar un mensaje a la gente Posibles razones de que fingió su muerte: El 13 de septiembre de 1996 a las 4:03 de la tarde, Tupac Amaru Shakur fue declarado como fallecido después de haber recibido varios impactos de bala el 7 de septiembre de 1996 en las Vegas tras el combate de boxeo de campeonato entre Mike Tyson y Bruce Seldon, Sin embargo, si vemos y analizamos bien, ¿Cómo es posible que en una ciudad como las Vegas no se hayan encontrado pistas o algún culpable sobre la muerte de Pac? No hubieron detenidos, ni ningún culpable, solo sospechos, pero no el que lo mato, como resultado alguno, esto ha generado varias conspiraciones que proporcionan explicaciones de este asesinato sin resolver. Una de las muchas ideas propuestas por muchos entusiastas de Tupac. Otros hechos o teorías que explican que Tupac Shakur está vivo. Otro apoyo demasiado popular para estas teorías, se le conoce como la “Teoría del Día Siete”. El 5 de noviembre de 1996, fue publicado su primer disco póstumo de fue lanzado bajo el nuevo nombre de Makaveli, titulado como “The Don Killuminati: The 7 Day Theory”. Un álbum basado sobre los hechos teóricos de la conspiración. En 1994 Pac estuvo en prisión, durante ese tiempo Tupac estudió a Niccolo Maquiavelo, un estratega italiano, teórico político, historiador y diplomático. Maquiavelo es bien conocido por varias obras tituladas como El Príncipe (1513) y El arte de Guerra (1521), donde se discute sobre fingir la muerte como un método para engañar a los enemigos. Aquí es donde surge la idea de “Negar su muerte” para escapar de sus enemigos y por todo lo que estaba pasando en aquella época, esto surge después de haber estudiado a fondo a Niccolo Maquiavelo #1 En la noche del abaleo, algunas personas dijeron que un fan había tomado una foto de él con la ventanilla baja, donde él y Suge Knight se muestran en el coche como si estuvieran a punto de salir y conducir, pero la cosa es que no habían llaves en el coche. ¿Por qué no habrían llaves en el coche? ¿Fue un error, o lo hicieron a propósito? En la siguiente foto podemos observar. #2 Las Vegas esta en el medio del desierto. ¿Cómo es que no hubo ninguna persecución en helicóptero? Si alguien fuera a robar un casino, la L.V.P.D hubiera perseguido al asaltante, pero... ¿Cómo es que esto no ocurrió con los disparos hacia Pac? #3 En la canción "Life Goes On", así como otras canciones, Tupac rapea sobre su propio funeral, ¿por qué fue incinerado el día después de su muerte? #4 Una semana después de que Tupac murió, salió un video titulado como: " I Ain't Mad at Cha" Este es el vídeo donde él predice su propia muerte, fue realizado una semana antes de su "verdadera muerte", Pac "murió el 13 de septiembre de 1996" con 6 impactos de bala en su cuerpo, en el vídeo también recibió 6 impactos, ese mismo día en el que murió el vídeo fue terminado "La edición". 2 días después de su muerte la canción salió a la venta y en las radios. ¿Increíble, no? #5 Muchos artistas ponen mensajes secretos en sus canciones, muchos de estos mensajes los podemos encontrar si colocamos la canción a la inversa. En una de las canciones de Tupac, al hacer esto nos dice: "Yes Im alive and me missing you." Esta es la canción: Aquí pueden ver dándole reversa a la cancion: #6 Algunas personas brillantemente descubrieron que hay una extraña teoría de el numero "7" en torno a la muerte de Pac. Le dispararon el 7 de septiembre y murió siete días después. Por otra parte, su hora oficial de la muerte fue 4:03 AM (4 + 3 = 7), tenía 25 años cuando murió (2 + 5 = 7), y su último álbum salió siete meses después de su muerte. Ese álbum fue titulado Makaveli The Don Kiluminati: La teoría de 7 días. Se sigue y sigue, por lo que la gente miraba a esta teoría. #7 Esta es la que más me gusta y es que pac tiene un video llamado “I Wonder If Heaven Got A Ghetto” El video fue hecho después de su muerte, pero al principio del video podemos ver como un helicóptero lleva a “Un herido”, en los primeros cinco segundos del video se escucha desde el helicóptero: "...el rapero Tupac Shakur ha sido disparado en repetidas ocasiones". El helicóptero deja a “Pac” en un convento de monjas y esas mismas monjas lo rescatan y mejoran a ese personaje que suponemos que es Pac. En el video sale: “Sept 14 de 1996” Un día después de su muerte, abajo sale un extraño nombre que dice “Rukahs – New Mexico”. Si vemos bien “Rukahs” no existe, ¿Pero si leemos ese nombre al revés que obtenemos?, exacto, obtenemos la palabra “Shakur” Más adelante en ese mismo video, Pac se monta un coche, La matrícula del coche en el que Tupac monta es "61671", haciendo referencia a la fecha de nacimiento, 16 de junio de 1971. La habitación a la que entra con una chica es la número 7. El reloj en el fondo al final del video marca la hora 4:05, 2 minutos después del fallecimiento de Tupac. #8 La foto de la autopsia es totalmente falsa, La foto fue manipulada, fue manipulada y sacada del video musical "California Love Part 2.", donde 2pac está poniendo en una posición corporal similar Foto supuestamente original: http://www.documentingreality.com/forum/attachments/f237/38601d1236953415-tupac-shakur-death-picture-2pacautopsycolormarked.jpg He aquí la manipulación: #9 En la foto de la autopsia, podemos ver clamara mente que en su cuello no aparece el tatuaje “Makaveli” lo que nos deja muy evidente que esta foto de la autopsia es totalmente falsa. #10 Hay una fuerte creencia de que la teoría de 7 días estaba a punto de su muerte. Los factores son: - Le dispararon el 7 de septiembre - Murió 7 días después. - Él tenía 25 años cuando "murió" 2 + 5 = 7 - El Álbum de Tupac “All eyez on me” fue lanzado el 13 de Febrero de 1996, exactamente 7 meses antes de su muerte .. - Tupac murió a las 4:03 PM… 4 + 3 = 7 .. - En la última película de Tupac llamada “Gang Related" su número de placa es 115 …. 1 + 1 + 5 = 7 .. - En la canción, “White Man’s World” si usted escucha muy de cerca por el principio, hay una voz en el fondo diciendo: "7 años, 7 años, 7 años ... - En la intro del álbum “The Don Killuminati“ Suenan seis disparos y cuando Tupac comienza rapear, suena el séptimo… - Había siete miembros en su grupo “Outlawz” ¿Coincidencias o todo estaba planeado? #11 Otrapieza de evidencia, fue la ultima foto de pac, donde 2pac y Suge Knight estan en un coche, la noche donde abalearon pac, el estaba en el MGM en Las Vegas para ver un combate de boxeo Mike Tyson. Curiosamente sinos fijamos en la foto que se ve a continuación te darás cuenta de que algo noencaja, Es muy evidente si se examina el vello facial en la barbilla de 2pac, sepuede ver que en la imagen en la que está en el coche de su barba es mucho máslarga! PD: Esta foto fue tomada en la pelea de Mike Foto coche "Despues de salir de la pelea, ultima foto de pac": ¿La ultima foto de pac fue un montaje? Videos Interesantes Final ¿De dónde he sacado todo esto o como carajos hablo tanta mierda? ¡Ja simple! tienes que escuchar los audios, las entrevistas y los discursos, donde Túpac expone a los “Illuminati” “La falsa muerte de Tupac” Esto solo una teoría que parece verdadera, ¿Tupac fue asesinado por los Illuminati? Esto también es una teoría, no se confundan, solo quise compartir con ustedes mis largos días de investigación, quise compartir este articulo para todos aquellos que quieren saber más sobre esta conspiración, sobre este misterio… Si tienen alguna información o algo que deseen compartir seria genial, seria de gran ayuda. Gracias internautas. THUGQUITIAN MEDELLÍN, COLOMBIA